ZILEEEEEEEE
ZILEEEEEEEE ZILEEEEEEEE
ZILEEEEEEEE
ZILEEEEEEEE
ZILEEEEEEEE
In undele mecanice u(x,t) reprezinta o deplasare fata de pozitia de echilibru a unei particule din material. Ne putem gandi ca noua pozitie a particulei care era la x este r(x,t) = x + u(x,t).
| u(x,t) | = Asin(ωt - kx) | ||
| Ec | = m ⋅ | ||
| dEc | = dm ⋅ | ||
| = ⋅ ⋅ ()2 | |||
| wc | = 2 | ||
| wc | = ρ ⋅ ⋅ (-ωAcos(ωt - kx))2 | ||
| wc | = ρ ⋅ ⋅ ω2A2 cos2(ωt - kx) | ||
| wc | = ⋅ cos2(ωt - kx) | ||
| ≈∫ ab cos2x ⋅ dx | |||
| ≈∫ ab ⋅ dx | |||
| ≈⋅ dx | |||
| = |
Acum pentru densitatea de energie potentiala folosim legea lui Hooke σ = E ⋅ ϵ. Vrem sa gasim functia ϵ(x,t) = ?
| u(x,t) | = Asin(ωt - kx) | ||
| ϵ | = = | ||
| ϵ | = | ||
| ϵ | = |
Pentru a gasi densitatea de energie potentiala facem analogia cu o bara elastica de suprafata S. Stim . De asemenea stim.
| k | = | ||
| Ep | = kx2 = 2 | ||
| Ep | = E ⋅ Sl0ϵ2 = E ⋅ V ϵ2 | ||
| = Eϵ2 | |||
Putem generaliza acest rezultat oricarui mediu elastic fiindca local este acelasi fenomen:
| wp | = ϵ(x,t)2 | ||
| wp | = 2 | ||
| wp | = 2 | ||
| wp | = cos2(ωt - kx) | ||
| = |
Pentru unde in mediu elastic viteza de propagare
| c | = ⇒ c2 = ⇒ | ||
| ω2 | = k2 ⇒ | ||
| ρω2 | = Ek2 |
Astfel obtinem ca densitatile de energie intr-un mediu elastic (pentru unda plana progresiva monocromatica) sunt EGALE (atat in medie cat si in fiecare punct in timp si spatiu).
| = ⇒ | |||
| = 2 = 2⇒ | |||
| = = |
Pentru ca suprafetele de faza egala sunt plane (prost spus in 1D sau 2D), denumire care are sens doar in 3D. In 3 dimensiuni una plana progresiva monocromatica are ecuatia:
| u(x,y,z,t) | = Asin(ωt - kxx - kyy - kzz) | ||
| u(r,t) | = Asin(ωt - k ⋅ r) |
De aici este clar sa suprafete de faza egala sunt plane fiindca suprafetele de produs scalar k ⋅ r constant sunt plane perpendiculate pe k.
Practic o bara elastica se poate misca in 2 moduri: se comprima si se dilata de-alungul lungimii ei (unda longitudinala) si se poate misca perpendicular pe axa ei originala. Teoretic, ambele fenomene pot fi studiate considerand deplasearea fata de pozitia de echilibru u(x,t) ca si un vector, in alte cuvinte avem cate o deplasare pentru fiecare coordonata:
| u(x,t) | = ux(x,t)i + uy(x,t)j |
Pentru unda longitudinala avem uy(x,t) = 0 mereu si pentru cea transversala ux(x,t) = 0 mereu.
In 3D undele longitudinale se refera tot la unde care comprima si dilata materialul in timp ce cele transversale fac ca straturile consecutive din structura laticiala a materialului sa se deplaseze unul fata de celalalt, pastrandu-si distanta dintre ele egale.
Consideram o sursa la x = 0 si un perete la x = D. Fenomenul de reflexie in punctul peretelui produce un defazaj de π. Ne putem gandi la un punct care merge impreuna cu unda. El initial se misca la dreapta cu +c si isi pastreaza faza, se loveste de perete si incepe sa se miste la stanga cu -c cu faza constanta, care de data aceasta difera cu π fata de cea initiala.
Acum putem scrie unda rezultata ca suma undei initiale si a celei reflectate.
| u(x,t) | = u0(x,t) + ur(x,t) | ||
| u0 | = Asin(ωt - kx) | ||
Fazele undei incidente si a celei reflectate la perete sunt:
| φi(t) | = ωt - kD | ||
| φr(t) | = φi(t) + π = ωt - kD + π |
Scriem ecuatia undei reflectate in functie de faza undei reflectate la perete. Unda reflectata este o unda plana monocromatica regresiva (faza se deplaseaza in stanga, nu in dreapta). Intr-o unda plana monocromatica daca oprim timpul t = t0 si stim faza intr-un punct φ(x,t) = ωt - kx atunci putem scrie faza in alt punct ca si φ(y,t) = ωt-ky = ωt-k(x- (x-y)) = φ(x,t) -k(y -x). Acelasi principiu il vom folosi si aici! Stim faza undei reflectate la perete, ur(D,t) = φr(t) si ne deplasam cu D - x la stanga.
| ur(x,t) | = Asin(φr(t) - k(D - x)) = | ||
| ur(x,t) | = Asin(ωt - kD + π - kD + kx) = | ||
| ur(x,t) | = Asin(ωt + kx + (π - 2kD)) |
Notam cu β = π - 2kD defazaul intr-un punct produs de reflexia cu peretele de la x = D. Restul se stie din clasa.